Exercice 12

Polynômes d’interpolation de Lagrange

On considère E= R[X]3= {P∈ R[X] ;deg(P)<3} qui est un C-espace vectoriel. Soient a,b,c ∈R deux à deux distincts (a≠b,b≠c et c≠a). On pose
P_a (X)=(X-b)(X-c),P_b (X)=(X-a)(X-c) et P_c (X)=(X-a)(X-b).

1) Montrer que (Pa , Pb, Pc) est une base de E et écrire la matrice de passage de la base canonique (1,X,X²) de E à cette base.

Comment faire ?
Faut-il utiliser les notions de famille libre et de famille génératrice ?
Ou faut-il directement répondre aux deux questions en donnant le déterminant de la matrice de passage ?

En tout cas, je sais déjà que (Pa, Pb, Pc)doit être libre et génératrice pour être une base. Mais après...

Je suis donc un peu coincé...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît...

Merci d'avance

BONNE JOURNEE ET BON COURAGE

Signé : Le nouméen (néo-calédonien)

Comme (Pa , Pb, Pc) comporte 3 éléments et que E est de dimension 3 il suffit de prouver que c'est une famille libre ou une famille génératrice. Ici il est plus facile de montrer que c'est une famille libre. Tu pars de alpha Pa + beta Pb + gamma Pc = 0 (polynôme nul) ce qui va te donner un système de 3 équations dont le déterminant est non nul (à calculer) donc qui n'a qu'une solution alpha=0 beta=0 gamma=0.

Mais tu peux également écrire la matrice de passage et prouver que son déterminant est non nul. Cela reviendra exactement au même : un calcul de déterminant.

Je te laisse faire le calcul !

Didier
http://www.maths-cours.fr

Merci beaucoup !!!