De l'analyse pure et dure - Be-Students - Forum d'entraide et de soutien scolaire gratuit

Turing · 22/03/2008, 02h49

Bonjour,

Voilà, j'ai un devoir d'analyse à faire pour les vacances, j'ai commencé à traiter les 2 premiers exercices. Pourriez-vous me dire si c'est bon ou non, et me conseiller sur la manière de démontrer certains résultats mathématiques (C'est ce que j'ai le plus de mal à faire.), s'il vous plaît ?

Exercice 1

a) Poser la contraposée de (∀ε>0,a≤b+ε) =>(a≤b)

J'ai répondu ceci : (a>b) => (∃ ε >0,a > b+ ε)

b) Démontrer la propriété.

Et c'est là que çà bloque. Je ne vois pas comment commencer la démonstration.

Exercice 2

1) Tracer le graphe de l'application x=> E(x) (Partie entière de x) dans l'intervalle [-2 ; 2]

Ca c'est fait.

2) Est-ce que f est injective ? surjective ?

J'ai répondu que d'après le graphe f est bijective (injective et surjective)

Est-ce que je ne me suis pas trop trompé jusqu'ici?
Merci d'avance pour vos réponses.
Turing.

**maths-cours** · 22/03/2008, 14h05

Exercice 1

a) oui
b) Tu supposes a>b. Il faut que tu trouves un nombre ε strictement positif tel que a > b+ ε.
Il faut donc que 0<ε<a-b. Un tel nombre existe bien, il suffit par exemple de prendre (a-b)/2

Exercice 2

b) Si j'ai bien compris l'énoncé il s'agit de la fonction partie entière (je m'interroge à cause du =>)
Elle n'est ni injective ni surjective.
Elle n'est pas injective car il y a des nombres différents qui ont la même image.
Par exemple 1 et 1,5 ont tous les 2 la même image f(1)=f(1,5)=1
Pour dire si elle est surjective il faudrait que soit précisé dans l'énoncé l'ensemble d'arrivée. Mais si on prend comme ensemble d'arrivée |R, elle n'est pas surjective. En effet un nombre qui n'est pas entier comme 0,5 n'a pas d'antécédent. (Il n'y a pas de nombre x tel que E(x)=0,5).

Au besoin, revois la définition d'injective et surjective.

J'espère que ma réponse pourra t'aider.

Didier
Maths-cours.fr
P.S. Comment as tu fait pour entrer les caractères ∀, ε, ∃ ? (moi j'ai fait un copier coller à partir de ton message...)

Turing · 24/03/2008, 23h26

Bonjour,

Merci pour ta réponse, tout d'abord.

Pour rentrer les carcactères ∀, ε, ∃, j'ai utilisé mon ordinateur portable avec la dernière version de Word où on peut rentrer des équations avec ce type de caractères.

**maths-cours** · 25/03/2008, 11h21

Ok. Merci pour ta réponse