Sujet : Vecteur et norme

Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre ce problème:

Soit u, v, w trois vecteurs non nuls de même norme k et formant entre eux deux à deux des angles égaux. Déterminez k pour que u+v soit perpendiculaire à u-2w et soit de norme √6.

Merci d'avance

C'est assez simple si tu utilises le produit scalaire. En effet, déja tu sais que les trois vecteurs forment un même angle entre eux, donc leurs produits scalaires deux à deux sont égaux. C'est à dire :

<u,v>=<u,w>=<v,w>.

Tu sais aussi qu'il ont même norme k donc

||u||=||v||=||w||=k.

Maintenant on te dis que u+v et u-2w sont orthogonaux, cece se traduit facilement en terme de produit scalaire :

<u+v,u-2w>=0.

En développant cette expression tu as :

||u||²-2<u,w>+<v,u>-2<v,w>=0.

Soit encore en utilisant l'égalité des produits scalaires et le fait que ||u||²=k², on a

k²=3<u,v>. (équation 1)

Maintenant on te dis que u+v est de norme racine de 6, donc on a

||u+v||²=6

soit encore

<u+v,u+v>=6.

Encore une fois en développant, tu trouves facilement que

2k²+2<u,v>=6

soit

<u,v>=3-k². (équation 2)

En rassemblant (équation 1) et (équation 2) ensemble, on trouve alors que

3-k²=k²/3

et ça c'est facile à résoudre!!

Voilou!!
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