Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre ce problème:
Soit u, v, w trois vecteurs non nuls de même norme k et formant entre eux deux à deux des angles égaux. Déterminez k pour que u+v soit perpendiculaire à u-2w et soit de norme √6.
C'est assez simple si tu utilises le produit scalaire. En effet, déja tu sais que les trois vecteurs forment un même angle entre eux, donc leurs produits scalaires deux à deux sont égaux. C'est à dire :
<u,v>=<u,w>=<v,w>.
Tu sais aussi qu'il ont même norme k donc
||u||=||v||=||w||=k.
Maintenant on te dis que u+v et u-2w sont orthogonaux, cece se traduit facilement en terme de produit scalaire :
<u+v,u-2w>=0.
En développant cette expression tu as :
||u||²-2<u,w>+<v,u>-2<v,w>=0.
Soit encore en utilisant l'égalité des produits scalaires et le fait que ||u||²=k², on a
k²=3<u,v>. (équation 1)
Maintenant on te dis que u+v est de norme racine de 6, donc on a
||u+v||²=6
soit encore
<u+v,u+v>=6.
Encore une fois en développant, tu trouves facilement que
2k²+2<u,v>=6
soit
<u,v>=3-k². (équation 2)
En rassemblant (équation 1) et (équation 2) ensemble, on trouve alors que
Vecteur et norme
Mode linéaire
