Sujet : Exercice limites (DM)

Bonjour, Je rencontre un problème pour faire un exercice maison à rendre pour mercredi...
Voici l'énoncé:

On considère la fonction f de la variable réelle x définie par f(x) = √x²-x+1 et on note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal.



1) a. Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f.



b. Montrer que la droite Δ d'équation x= 1/2 est axe de symétrie de la courbe Cf. Que peut-on en déduire concernant le domaine d'étude de f?



2) a. Sans utiliser la dérivation, étudier la monotonie de f sur l'intervalle [1/2 , +∞[ puis en déduire la monotonie de la fonction f sur ]-∞; 1/2].



b. Montrer que pour tout réel x, f(x) >= (√3)/2 et interpréter graphiquement cette inégalité. Montrer que (√3)/2 est le minimum absolu de f et interpréter graphiquement.



c. Calculer la limite de f en +∞ et en déduire la limite de f en -∞.



d. Construire le tableau de variation de f .



3)Montrer que Cf admet la droite D d'équation y = x-1/2 pour asymptote oblique au voisinage de +∞ puis préciser la position relative de Cf par rapport à D. Qu'en est-il au voisinage de -∞?



4) Construire Cf avec son/ses asymptotes et placer Δ.



5) Soit m un nombre réel. On considère l'équation [E] = √x²-x+1 = m.
a. Déterminer graphiquement le nombre de solution de [E] sur R.
b. Résoudre (algébriquement) sur R, l'équation √x²-x+ = m.



Voici mes réponses (sans détails).
1.a. Défini sur R
1.b. Bien symétrique car f(x+h) = f(x-h) avec x = 1/2.
On en déduit qu'il suffit d'étudier f sur un seul des deux intervalles suivants : [1/2 , +∞[ ou ]-∞; 1/2]
Cependant, quelles sont les conséquences directes sur le sens de variation de f et sur la présence d'un minimum?

2.a J'ai utilisé le théorème sur la limite des fonctions composés, en prenant g(x) = x²-x+1 et h(x) Vx. f(x) est strictement croissante sur [1/2 , +∞[ et donc monotone.
Pour la deuxième partie de la question, peut-on dire que f est croissante et donc monotone grace à l'axe de symétrie présent?

2.b J'ai élevé au carré, ce qui me donne au final x²-x+1/4 >= 0. Après avoir calculé Δ = 0, j'obtiens x=1/2.
En remplacant x par 1/2 dans f, je trouve que f(1/2) = (V3)/2. Mais comment montrer qu'il s'agit du minimum ABSOLU??

2.c Pas de problèmes
2.d Non plus

3) Il faut voir si lim x-> O [f(x) - (x-1/2)] = 0. Mais je trouve un résultat un peu différent...

4) Pas de problèmes
5) Je ne comprends pas.

Merci de votre aide!

Une remarque préliminaire
Tu écris f(x) = √x²-x+1; cela signifie-t-il f(x) = √(x²-x+1) ou alors (√x²)-x+1 ? J'ai choisi la première hypothèse
1) a) Attention f est une racine carrée. Sur les réels la racine carrée n'est définie que pour les réels non négatifs. P.ex si x=1 on obtient racine de -1
b) OK Mais j'aurais écrit f(1/2+x) = f(1/2-x)
A la question du minimum on peut répondre que si a est un minimum de f, 1-a est également minimum.
2)a)OK
b)Je ne comprends pas d'où sort x²-x+1/4 ? Peut-être l'énoncé n'est pas correct. Il faut vérifier avant de continuer. De plus il faut corriger le 1a. Cela deviendre plus clair
c et d, je passe donc.
3)Tu trouves "un résultat un peu différent" mais encore?
4) probablement OK
5)√x²-x+ = m. Voir la remarque préliminaire. Ce serait plus simple si c'était la deuxième hypothèse.
autrement élève au carré et utilise les résultats précédents
Bon travail

Oui tout à fait, il s'agit de la première forme, soit f(x) = √(x²-x+1).

1)a. Il faut que x²-x+1 (qui est sous la racine) soit supérieur ou égal à 0. Or le minimum de f(x) est atteint en x =1/2 et vaut 0,75. J'en ai donc déduis que f(x) était défini sur R...
1)b. Cependant, quelles sont les conséquences directes sur le sens de variation de f et sur la présence d'un minimum? , je n'ai pas eu de réponse à cette question... Le prof a insisté sur cette question disant que c'était "la base" et qu'il fallait se servir de celle-ci pour ensuite justifier les autres questions portant sur la symétrie.

2)b. On souhaite montrer que f(x)>= (V3)/2. Soit pour tout x appartenant à Df,
√(x²-x+1) >= (V3)/2
(√(x²-x+1))² >= ((V3)/2)²
x²-x+1 >= 3/4
x²-x+1/4 >= 0

Δ = 0, une solution x = 1/2.

Toujours est-il que je n'arrive pas à montrer qu'il s'agit du minimum absolu...

3) Je fais donc la limite lorsque x tend vers 0 de [f(x) - (x-1/2)]. J'utilise la quantité conjuguée pour arriver finalement à (-x) / (√(x²-x+1) + x - 1/2). Je factorise le dénominateur par x pour obtenir au final :
(-1) / (√(x²-x+1) + x - 1/2).
Le calcul me semble bon et j'obtiens le bon résultat, à savoir que cette expression tend bien vers O lorsque x tend vers l'infini. Mais elle me parait... étrange (je sais pas si je me fais comprendre... :s)

5) Il s'agit bien de la deuxième hypothèse.

Merci d'avance!

1.a. OK
1)b. Cependant, quelles sont les conséquences directes sur le sens de variation de f et sur la présence d'un minimum? , je n'ai pas eu de réponse à cette question... Le prof a insisté sur cette question disant que c'était "la base" et qu'il fallait se servir de celle-ci pour ensuite justifier les autres questions portant sur la symétrie.
Ben à ce stade on ne peut rien en déduire sur le sens de variation de f et sur la présence d'un minimum mais c'est utile pour la suite...

2.a. J'ai utilisé le théorème sur la limite des fonctions composés, en prenant g(x) = x²-x+1 et h(x) Vx. f(x) est strictement croissante sur [1/2 , +∞[ et donc monotone.
Donc monotone sur [1/2 , +∞[
Pour la deuxième partie de la question, peut-on dire que f est croissante et donc monotone grace à l'axe de symétrie présent?
Non justement. f va être croissante sur [1/2 , +∞[ mais par symétrie décroissante sur ] -∞, 1/2]
Et c'est maintenant que tu vas pouvoir en déduire qu'il y a un minimum pour x=-1/2 Ce qui répond en même temps à la question 2.b.
En faisant le tableau de variations ou une figure ça devrait devenir clair !

3) Il faut voir si lim x-> O [f(x) - (x-1/2)]
Oui utilise la forme conjuguée pour faire disparaitre la racine au numérateur:
√(x²-x+1) - (x-1/2) = [√(x²-x+1) - (x-1/2)][√(x²-x+1) + (x-1/2)]/[√(x²-x+1) + (x-1/2)]
Tu développes au numérateur avec l'identité a²-b² et plein de trucs vont s'en aller
C'est une méthode à retenir qd tu as des limites avec des √

5.a. Pour résoudre graphiquement √x²-x+1 = m tu recherches l'intersection des courbes :
y=√x²-x+1 (c'est la courbe de ta fonction)
et
y = m (c'est une droite horizontale)
En gros tu traces une droite horizontale sur ta figure et tu regardes en combien de points elle coupe ta courbe.
Evidemment ca va dépendre de la position de ta droite donc de m. (suivant que m est > ou < que (√3)/2

Bon courage!

PS. tu écris 2.b J'ai élevé au carré,
Euh dans une inéquation tu n'as pas vraiment le droit d'élever chaque membre au carré....

Pour 1a) J'avais écrit trop vite ! Ce que tu écris est à présent tout à fait correct
2a) Ta première conclusion était correcte puisque tu te limitais à l'intervalle [1/2 , +∞[
2b) Plus simplement comme la fonction est monotone le minimum doit être obtenu pour x=1/2
3) S'il y a une asymptote oblique elle est de la forme y=ax+b. Je travaille dans l'intervalle [1/2 , +∞[
Dans ce cas lim (x->oo) √x²-x+1 = ax+b. En divisant les deux membres par x et en passant à la limite tu trouve 1 = a ; reste à calculer b = lim (√x²-x+1) -x et, comme on t'a expliqué plus haut, tu utilises la grandeur conjuguée (√x²-x+1)+x ; comme x est positif dans l'intervalle étudié tu n'aura pas de difficultés
Le reste est devenu clair maintenant.

A maths-cours:
2.a. "Non justement. f va être croissante sur [1/2 , +∞[ mais par symétrie décroissante sur ] -∞, 1/2]". Oui effectivement je voulais dire décroissante, simple erreur d'étourderie! ^^
2.b "Euh dans une inéquation tu n'as pas vraiment le droit d'élever chaque membre au carré.... " Mais comme ici les deux termes de part et d'autre du signe sont de même signe, √(x²-x+1) étant strictement positif pour tout x appartenant à R et V(3)/2 lui aussi est positif, on peut donc logiquement élevé les deux membres au carré non?

3. Avec la quantité conjuguée, cela me donne :
√(x²-x+1) - (x-1/2) = [√(x²-x+1) - (x-1/2)][√(x²-x+1) + (x-1/2)]/[√(x²-x+1) + (x-1/2)]
= (x² - x +1 - x² + x - 1/4) / (√(x²-x+1) + x-1/2)
= (3/4) / (√(x²-x+1) + x-1/2)

A partir de là, √(x²-x+1) tend vers +l'infini lorsque x tend vers +l'infini (il faut utiliser pour cela les théorèmes sur la somme des limites, ainsi que le théorèmes sur la limite des fonctions composés). De même, x-1/2 tend vers +l'infini lorsque x tend vers +l'infini. Le dénominateur tend donc vers +l'infini lorsque x tend vers +l'infini (prouvé grâce au théorème sur la somme des limites).
On a donc une limite finie sur une limite infinie, d'après le théorème sur les limites de quotient, on en déduit que limite lorsque x tend vers +l'infini de f(x) - (x-1/2) = 0.
D est donc bien asymptote oblique à Cf au voisinnage de +l'infini.

Par contre au voisinnage en -l'infini, je sais que l'asymptote est -x+1/2 (grace à la calculatrice ), mais comment le prouver?

Pour la question 5, j'y réfléchirai demain...

Merci d'avance à vous deux

3. C'est bon
Pour -∞ tu peux au choix utiliser la symétrie ou refaire un calcul analogue à celui que tu as fait pour +∞ : √(x²-x+1) - (-x+1/2) = .... (multiplication par le conjugué)

2.b. OK si tu précises bien sur ta copie que les 2 termes sont positifs. Mais tu n'as pas besoin de faire cela. Tu sais que f est strictement croissante sur [1/2 , +∞[ donc si x > 1/2 f(x)>f(1/2) et f est strictement décroissante sur ] -∞, 1/2] donc si x < 1/2 f(x)>f(1/2)
dans tous les cas on a pour tout x différent de 1/2 f(x)>f(1/2) ce qui prouve bien que f(1/2) est un minimum absolu.
Maintenant ta méthode peut être bonne aussi tout dépend comment tu la rédiges (attention à bien raisonner en équivalences).

Bon dimanche,

3. Si j'utilise la symétrie, il existe une propriété qui me dit que "les signes sont inversés" de l'autre côté de l'axe de symétrie? (Désolé, trou de mémoire... =/)

2.b Effectivement, votre méthode parait beaucoup plus simple! Et sans calcul à faire en plus

5a. Si m>(V3)/2, il existe deux solutions de [E] dans R. On voit que la droite y=m coupe Cf en deux points.
Si m= (V3)/2, il existe une solution de [E] dans R. La droite y = m coupe Cf en x=1/2.
Si m<(V3)/2, il n'existe aucune solution de [E] dans R. En effet, le minimum étant atteint en x=1/2 et valant (V3)/2, cela est logique...

b. Par contre pour la résolution algébrique... Je sais qu'il faut essayer d'établir un système, du moins le prof nous l'a dit. (les | sont censés représenter des accolades)
[E] =
|√(A(x)) = B(x)
|B(x) >= 0

Si on résout l'équation du second degrés √(x²-x+1) = m, (sachant que les deux termes sont positifs, on peut la encore élever au carré)
x²-x+1-m²=0
Δ = b²-4ac
Δ = -4(1-m²) = -4+4m².

Mais à partir de là, je trouve des x qui ne collent pas avec la résolution graphique...

Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plait?

3. Pour une symétrie par rapport à une droite verticale le signe du coef. directeur est opposé (pas forcément le signe de b même si c'est le cas ici). Utiliser la symétrie est moins calculatoire mais ça dépend un peu de ce que tu as vu en classe sur les symétries. Sinon emploie l'autre méthode.

5.b. Tu as fait une erreur de calcul dans le discriminant ; tu as oublié b²
Par ailleurs rien ne dit que m est positif. Donc distingue 2 cas m positif et m négatif